Entdecken Sie die „Einsteins“ und ihr großes mathematisches Geheimnis

Sie sind als Einsteins bekannt, nicht in Anlehnung an den berühmten Physiker, sondern als Wortspiel mit dem deutschen Ausdruck „ein stein“, was „ein Stein“ bedeutet. Allerdings wäre es in diesem Fall angemessener, es als eine Fliese zu übersetzen und sich auf eine geschlossene Form zu beziehen, die eine Fläche bedecken kann, ohne Lücken zu hinterlassen. Kurz gesagt, ein Steinchen, aber mit einzigartigen Eigenschaften, die zur Lösung eines der großen mathematischen Rätsel geführt haben.

Steinchen oder Kacheln vom Einstein-Typ zeichnen sich dadurch aus, dass sie aperiodisch sind, was bedeutet, dass sie, wenn sie als Mosaik angeordnet werden, in der Lage sind, eine unendliche Fläche in ihrer Gesamtheit abzudecken, aber gleichzeitig, ohne sich wiederholende Muster zu bilden dass keinerlei Symmetrie erkennbar ist. Wie auch immer man das Mosaik aufteilt, jeder Abschnitt ist einzigartig und keiner wiederholt das Muster eines anderen. Einsteins sind das Mosaikäquivalent irrationaler Zahlen.

Dieses Design erscheint unglaublich oder unmöglich, da es schwer vorstellbar ist, dass in einer unendlichen Ausdehnung keine zwei Regionen oder Abschnitte, wie klein sie auch sein mögen, mit demselben Tessellationslayout koexistieren könnten. Tatsächlich bezweifeln Mathematiker seit mehr als einem halben Jahrhundert, dass dies möglich ist. Und dann, im März 2023, wurde die Entdeckung „des Hutes“ bestätigt: des schwer fassbaren Einstein.

Kaum war er der Öffentlichkeit präsentiert, wurde der Hut von verschiedenen Künstlern und Kreativen als Motiv für ihre Entwürfe übernommen, von denen einige an sich schon echte Spiele sind. In dieser Komposition des amerikanischen Künstlers und Mathematikers Robert Fathauer müssen Sie beispielsweise ermitteln, wie viele Hemden und wie viele Hüte es gibt:

In diesem Mosaik wurden die Hüte in Schildkröten verwandelt und die Herausforderung besteht darin, die andere reflektierte Schildkröte zu identifizieren, diejenige, deren Kopf nach links gedreht ist:

Das Problem der Existenz oder Nichtexistenz dieser Art von Form begann im Jahr 1961, als der chinesische Mathematiker Hao Wang die sogenannte „Wang-Vermutung“ formulierte, in der er vorschlug, dass jede Menge von Formen oder Tessellationen einen Raum abdecken können ermöglicht in seiner Gesamtheit auch eine periodische Tessellation. Diese Vermutung wurde jedoch nur fünf Jahre später, im Jahr 1966, vom Mathematiker Robert Berger widerlegt, der auch den ersten Satz aperiodischer Stücke identifizierte: ein „Monster“ aus 20.426 Kachelformen, das Aperiodizität beweisen konnte.

Von diesem Moment an machten sich viele Mathematiker daran, eine immer kleinere Menge an Formen zu entdecken. Diese Suche wurde 1974 von dem brillanten Physiker und Mathematiker Roger Penrose vorangetrieben, der eine elegante Lösung auf der Grundlage zweier sehr einfacher Formen vorstellte, die er „Drachen“ und „Pfeil“ nannte.

Der Physiker und Mathematiker Roger Penrose präsentierte eine elegante Lösung, die auf zwei sehr einfachen Formen basiert und „der Drachen“ und „der Pfeil“ getauft wurde. Bildnachweis: Eigenes Design

Seitdem ist es trotz anhaltender Bemühungen niemandem gelungen, die Anzahl der Formen auf ein Minimum zu reduzieren. Das heißt, ein einzelnes Design zu finden, das in der Lage ist, eine unendliche Oberfläche ohne jegliche Periodizität zu tesselieren.

In diesem Spiel besteht das Ziel darin, jedes der Spielbretter zu füllen, indem die dazugehörigen Teile zusammengefügt werden:

Durch einen Schicksalsschlag gelang es David Smith, einem pensionierten britischen Mathematikbegeisterten, vor einigen Monaten, im November 2022, das schwer zu fassende Rätsel zu lösen. Erstens, indem er mit einem Computerprogramm spielte, das es ihm ermöglichte, verschiedene Formen zu entwerfen und zusammenzusetzen. Als er dann ein vielversprechendes Design fand, schnitt er mehrere Stücke auf Papier aus, um damit zu experimentieren. Fast wie bei einem Kinderspiel entdeckte er auf diese Weise „den Hut“, ein verblüffend einfaches 13-seitiges Vieleck, das dennoch die Voraussetzungen für einen Einstein erfüllt. Oder besser gesagt, der erste Einstein zu sein. Diese Eigenschaft wurde gerade vom Informatiker Craig Kaplan – an den sich Smith wandte, als er von seiner Entdeckung erfuhr – in Zusammenarbeit mit anderen Mathematikern in einer Arbeit demonstriert, die die mathematische Gemeinschaft revolutioniert hat. Dies gilt umso mehr, als das entdeckte Design nicht einzigartig ist, sondern nur das erste einer ganzen Kontinuität von Einsteins, die durch Veränderung des Verhältnisses und der Größe der Seiten der ursprünglichen Hutform erhalten werden.

Wie bei einem Kinderspiel besteht die Herausforderung darin, diesen Raum mit dem Hut zu mosaikieren. Sie müssen 22 Hüte (der erste ist bereits angebracht) so anordnen, dass sie die Oberfläche vollständig bedecken, ohne über die Ränder hinauszugehen. Es empfiehlt sich, die von David Smith angewandte Methode zu verwenden: Schneiden Sie eine Reihe von Papierstücken aus und versuchen Sie, sie zusammenzufügen.

function dropdown2() { document.getElementById("target2").style.display = "block"; document.getElementById("target-button2").style.display = "none"; }

Lösung 1: 12 Hemden und 3 Hüte

Solución tortugas: Es gibt keine einheitliche Antwort, was ist Ihre Wette?